স্বাভাবিক সংখ্যা ও ভগ্নাংশ (প্রথম অধ্যায়)

প্রাচীন মানুষ বিভিন্ন বস্তু বা জিনিস গণনা করতে গিয়ে প্রথম সংখ্যার ধারণা পেয়েছিল। প্রথমদিকে কম সংখ্যক বস্তু গুনতে হতো। কিন্তু সভ্যতার বিকাশের সাথে সাথে বেশি সংখ্যক জিনিস হিসাবের প্রয়োজন দেখা দেয়। সেখান থেকেই নানারকম প্রতীক ও পদ্ধতির মাধ্যমে মানুষ গণনার আরো সহজ ও কার্যকর উপায় খুঁজে বের করে। যেহেতু এই সংখ্যাগুলো গণনার প্রয়োজনে সৃষ্টি হয়েছিল তাই এদেরকে গণনাকারী বা স্বাভাবিক সংখ্যা (Natural Number) বলা হয়। যেমন: ১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬, ৭, ৮, ... ইত্যাদি।

অধ্যায় শেষে শিক্ষার্থীরা -

• অঙ্কপাতনের মাধ্যমে স্বাভাবিক সংখ্যা গঠন করতে পারবে।
• দেশীয় ও আন্তর্জাতিক রীতিতে অঙ্কপাতন করে স্বাভাবিক সংখ্যা পড়তে বা লিখতে পারবে।
• মৌলিক সংখ্যা, যৌগিক সংখ্যা ও সহ-মৌলিক সংখ্যা চিহ্নিত করতে পারবে।
• বিভাজ্যতা ব্যাখ্যা করতে পারবে।
• ২,৩,৪,৫, ৯ দ্বারা বিভাজ্যতা যাচাই করতে পারবে।
• স্বাভাবিক সংখ্যা, ভগ্নাংশ ও দশমিক ভগ্নাংশের গ.সা.গু ও ল.সা.গু নির্ণয় করতে পারবে।
• ভগ্নাংশ ও দশমিক ভগ্নাংশের সরলীকরণ করে গাণিতিক সমস্যার সমাধান করতে পারবে।

পাটিগণিতে দশটি প্রতীক দ্বারা সব সংখ্যাই প্রকাশ করা যায়। এ প্রতীকগুলো হলো: ১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬, ৭, ৮, ৯, ০। এগুলোকে অঙ্কও বলা হয়। আবার এগুলো সংখ্যাও। শূন্য ব্যতীত বাকি সংখ্যাগুলো স্বাভাবিক সংখ্যা। এদের মধ্যে প্রথম নয়টি প্রতীককে সার্থক অঙ্ক এবং শেষেরটিকে শূন্য বলা হয়। সংখ্যাগুলোর স্বকীয় বা নিজস্ব মান যথাক্রমে এক, দুই, তিন, চার, পাঁচ, ছয়, সাত, আট, নয় ও শূন্য।
৯ অপেক্ষা বড় সব সংখ্যাই দুই বা ততোধিক অঙ্ক পাশাপাশি বসিয়ে লেখা হয়। কোনো সংখ্যা অঙ্ক দ্বারা লেখাকে অঙ্কপাতন বলে। অঙ্কপাতনে দশটি প্রতীকই ব্যবহার করা হয়। দশ-ভিত্তিক বলে সংখ্যা প্রকাশের রীতিকে দশমিক বা দশ-গুণোত্তর রীতি বলা হয়। এ রীতিতে কয়েকটি অঙ্ক পাশাপাশি বসিয়ে সংখ্যা লিখলে এর সর্বাপেক্ষা ডানদিকের অঙ্কটি তার স্বকীয় মান প্রকাশ করে। ডানদিক থেকে দ্বিতীয় অঙ্কটি এর স্বকীয় মানের দশগুণ অর্থাৎ তত দশক প্রকাশ করে। তৃতীয় অঙ্কটি এর দ্বিতীয় স্থানের মানের দশগুণ বা স্বকীয় মানের শতগুণ অর্থাৎ, তত শতক প্রকাশ করে। এরূপে কোনো অঙ্ক এক এক স্থান করে বামদিকে সরে গেলে তার মান উত্তরোত্তর দশগুণ করে বৃদ্ধি পায়।
লক্ষ করি যে, কোনো সংখ্যায় ব্যবহৃত অঙ্কগুলোর মান তার অবস্থানের উপর নির্ভর করে। সংখ্যায় ব্যবহৃত কোনো অঙ্ক তার অবস্থানের জন্য যে সংখ্যা প্রকাশ করে, তাকে ঐ অঙ্কের স্থানীয় মান বলা হয়। যেমন, ৩৩৩ সংখ্যাটির সর্বডানের ৩ এর স্থানীয় মান ৩, ডানদিক থেকে দ্বিতীয় ও তৃতীয় স্থানে ৩ এর স্থানীয় মান যথাক্রমে ৩০, ৩০০। তাহলে দেখা যাচ্ছে, একই অঙ্কের স্থান পরিবর্তনের ফলে স্থানীয় মানের পরিবর্তন হয়। কিন্তু তার নিজস্ব বা স্বকীয় মান একই থাকে।
অর্থাৎ, $৩৩৩ = ৩ \times ১০০ + ৩ \times ১০ + ৩$

আমরা পূর্ববর্তী শ্রেণিতে দেশীয় রীতি অনুযায়ী গণনা করতে শিখেছি। এ রীতিতে সংখ্যার ডানদিক থেকে প্রথম, দ্বিতীয় ও তৃতীয় স্থান যথাক্রমে একক, দশক ও শতক প্রকাশ করে। চতুর্থ, পঞ্চম, ষষ্ঠ, সপ্তম ও অষ্টম স্থানকে যথাক্রমে হাজার, অযুত, লক্ষ, নিযুত, কোটি বলা হয়।

এককের ঘরের অঙ্কগুলো কথায় লেখা বা পড়া হয় এক, দুই, তিন, চার ইত্যাদি। কিছু দুই অঙ্কের সংখ্যাগুলোর বিশেষ বিশেষ নাম রয়েছে। যেমন, ২৫, ৩৮, ৭১ পড়া হয় যথাক্রমে পঁচিশ, আটত্রিশ, একাত্তর। শতকের ঘরের ১, ২, ৩ ইত্যাদি অঙ্কগুলোকে যথাক্রমে একশ, দুইশ, তিনশ ইত্যাদি পড়া হয়। হাজারের ঘরের অঙ্কগুলোকে শতকের ঘরের মতো পড়তে হয়। যেমন, পাঁচ হাজার, সাত হাজার ইত্যাদি। অযুতের ঘরের অঙ্ককে অযুত হিসেবে পড়া হয় না। অযুত ও হাজারের ঘর মিলিয়ে যত হাজার হয় তত হাজার পড়া হয়। যেমন, অযুতের ঘরে ৭ এবং হাজারের ঘরে ৫ থাকলে দুই ঘরের অঙ্ক মিলিয়ে পঁচাত্তর হাজার পড়তে হয়।

নিযুত ও লক্ষের ঘর মিলিয়ে যত লক্ষ হয় তত লক্ষ হিসেবে পড়া হয়। যেমন, নিযুতের ঘরে ৮ এবং লক্ষের ঘরে ৩ থাকলে দুই ঘরের অঙ্ক মিলিয়ে তিরাশি লক্ষ পড়া হয়। কোটির ঘরের অঙ্ককে কোটি বলে পড়া হয়।
কোটির ঘরের বামদিকের সব ঘরের অঙ্কগুলোকে কোটির ঘরের সাথে মিলিয়ে যত কোটি হয় তত কোটি পড়া হয়।
চার বা ততোধিক অঙ্কে লিখিত সংখ্যা সহজে ও শুদ্ধভাবে পড়ার জন্য কমা (,) ব্যবহার করা যায়। এ ক্ষেত্রে, যেকোনো সংখ্যার ডানদিক থেকে তিন অঙ্ক পরে একটি কমা এবং এরপর দুই অঙ্ক পর পর কমা ব্যবহার করা যায়।

উদাহরণ ১। কমা বসিয়ে কথায় লেখ: ৯৮৭৫৪৭৩২১।
সমাধান: সংখ্যাটির ডান দিক থেকে তিন ঘর পরে কমা (,); এরপর দুই ঘর পর পর কমা (,) বসালে আমরা পাই, ৯৮,৭৫,৪৭,৩২১।
এখন কোটির ঘরের দুইটি অঙ্ক মিলিয়ে ৯৮, নিযুত ও লক্ষের ঘরের দুইটি অঙ্ক মিলিয়ে ৭৫, অযুত ও হাজারের ঘরের দুইটি অঙ্ক মিলিয়ে ৪৭, শতকের ঘরে ৩, দশকের ঘরে ২ এবং এককের ঘরে ১ অবস্থিত। সুতরাং সংখ্যাটিকে কথায় প্রকাশ করলে হয় আটানব্বই কোটি পঁচাত্তর লক্ষ সাতচল্লিশ হাজার তিনশ একুশ।

উদাহরণ ২। অঙ্কে লেখ: সাত কোটি পাঁচ লক্ষ নব্বই হাজার সাত।

সমাধান: কোটি নিযুত লক্ষ অযুত হাজার শতক দশক একক

৭ ০ ৫ ৯ ০ ০ ০ ৭

কথায় প্রকাশিত সংখ্যাটি অঙ্কপাতনের পর দেখা যায় যে, নিযুত, শতক এবং দশকের ঘরে কোনো অঙ্ক নাই। এ খালি ঘরগুলোতে ০ বসিয়ে সংখ্যাটি পাওয়া যায়।

$\therefore$ সংখ্যাটি ৭,০৫, ৯০,০০৭।

উদাহরণ ৩। সাত অঙ্কের বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যা লেখ।

সমাধান : এক অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা ৯। অঙ্কপাতনের যেকোনো অবস্থানে ৯ এর স্থানীয় মান বৃহত্তম হবে। সুতরাং, সাতটি ৯ পর পর লিখলেই সাত অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা পাওয়া যায়।

নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা: ৯৯, ৯৯, ৯৯৯
আবার, ক্ষুদ্রতম অঙ্ক হলো ০। পর পর সাতটি শূন্য লিখলে সংখ্যাটি শূন্যই থাকে। সুতরাং, সর্ববামে সার্থক ক্ষুদ্রতম অঙ্ক ১ লিখে ডানে পর পর ছয়টি ০ বসালে ক্ষুদ্রতম সংখ্যা পাওয়া যাবে।
নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ১০,০০,০০০

উদাহরণ ৪। একই অঙ্ক মাত্র একবার ব্যবহার করে ৮, ০, ৭, ৫, ৩, ৪ অঙ্কগুলো দ্বারা ছয় অঙ্কের বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যা গঠন কর।

সমাধান: অঙ্কপাতনে যেকোনো অবস্থানে বৃহত্তর অঙ্কের স্থানীয় মান ক্ষুদ্রতর অঙ্কের স্থানীয় মান
অপেক্ষা বড় হবে।
এখানে, ৮ > ৭ > ৫ > ৪ > ৩ ১০
সুতরাং, বড় থেকে ছোট ক্রমে অঙ্কপাতন করলেই বৃহত্তম সংখ্যাটি পাওয়া যাবে।
$\therefore$ বৃহত্তম সংখ্যা ৮,৭৫,৪৩০।
আবার, ০৩৪৫৭০৮
সংখ্যাটি ছোট থেকে বড় ক্রমে অঙ্কপাতন করলেই ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি পাওয়া যাবে। কিন্তু সর্ববামে
০ বসালে প্রাপ্ত সংখ্যাটি অর্থবোধক ছয় অঙ্কের সংখ্যা না হয়ে সংখ্যাটি পাঁচ অঙ্কের হবে। অতএব,
০ বাদে ক্ষুদ্রতম অঙ্কটি সর্ববামে লিখে শূন্যসহ অন্যান্য অঙ্কগুলো ছোট থেকে বড় ক্রমে লিখলে ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি পাওয়া যায়।
$\therefore$ ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ৩,০৪,৫৭৮।

এ পদ্ধতিতে একক থেকে বিলিয়ন পর্যন্ত স্থানগুলো নিচের নিয়মে পর পর এভাবে সাজানো হয়:

একক, দশক ও শতকের ঘরের অঙ্কগুলো আমাদের দেশীয় রীতিতেই পড়া ও কথায় প্রকাশ করা হয়। শতকের ঘরের বামদিকের ঘরটি হাজারের। হাজারের ঘরে অনূর্ধ্ব ৩ অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যা লেখা যায় এবং যে সংখ্যা লেখা হয় তত হাজার পড়া হয়। যেমন, উপরে প্রদত্ত ছকে হাজারের ঘরে লিখিত সংখ্যাটি একশ এগারো এবং পড়তে হয়, একশ এগারো হাজার। হাজারের ঘরের বামদিকের ঘর মিলিয়নের এবং এ ঘরে অনূর্ধ্ব তিন অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যা লেখা যায়। যে সংখ্যা লেখা হয় তত মিলিয়ন পড়া হয়। যেমন, ছকে লিখিত সংখ্যা হলো একশ এগারো এবং পড়তে হয়, একশ এগারো মিলিয়ন। মিলিয়নের ঘরের বামের ঘর বিলিয়নের। যে সংখ্যা লেখা হয় তত বিলিয়ন পড়া হয়। যেমন, ছকে লিখিত সংখ্যা হল একশ এগারো এবং পড়তে হয়, একশ এগারো বিলিয়ন।

কোনো সংখ্যা শুদ্ধভাবে ও সহজে পড়ার জন্য যে রীতিতে ডানদিক থেকে তিন অঙ্ক পর পর কমা (,) বসানো হয়, তা আন্তর্জাতিক গণনা পদ্ধতি।

লক্ষ করি :

• মিলিয়নের ঘরে সর্বডানের ১ এর স্থানীয় মান ১ মিলিয়ন। দেশীয় রীতিতে এ ঘরটি হলো নিযুতের ঘর। অর্থাৎ, এ ঘরে ১ এর স্থানীয় মান ১ নিযুত বা ১০ লক্ষ।
• বিলিয়নের ঘরের সর্বডানের ১ এর স্থানীয় মান ১ বিলিয়ন। কিন্তু দেশীয় রীতিতে এ ঘরের ১ এর স্থানীয় মান ১০০ কোটি।

সুতরাং আমরা পাই,

উদাহরণ ৫। আন্তর্জাতিক পদ্ধতিতে কথায় লেখ: ২০৪৩৪০৪৩২০০৪।

সমাধান: ডানদিক থেকে তিন অঙ্ক পর পর কমা বসিয়ে আমরা পাই, ২০৪,৩৪০,৪৩২,০০৪।
সুতরাং সংখ্যাটিকে কথায় প্রকাশ করলে হয়:
দুইশ চার বিলিয়ন তিনশ চল্লিশ মিলিয়ন চারশ বত্রিশ হাজার চার।

উদাহরণ ৬।

(ক) ৫ মিলিয়নে কত লক্ষ?
(খ) ৫০০ কোটিতে কত বিলিয়ন ?

সমাধান :

(ক)

১ মিলিয়ন = ১০ লক্ষ
$\therefore$৫ মিলিয়ন = (৫ × ১০) লক্ষ = ৫০ লক্ষ।

(খ)

১০০ কোটি = ১ বিলিয়ন
$\therefore$১ কোটি = (১ $÷$ ১০০) বিলিয়ন
$\therefore$৫০০ কোটি = (৫০০ $÷$১০০) বিলিয়ন = ৫ বিলিয়ন

১। নিচের সংখ্যাগুলো অঙ্কে লেখ:
(ক) বিশ হাজার সত্তর, ত্রিশ হাজার আট, পঞ্চান্ন হাজার চারশ।
(খ) চার লক্ষ পাঁচ হাজার, সাত লক্ষ দুই হাজার পঁচাত্তর।
(গ) ছিয়াত্তর লক্ষ নয় হাজার সত্তর, ত্রিশ লক্ষ নয়শ চার।
(ঘ) পাঁচ কোটি তিন লক্ষ দুই হাজার সাত।
(ঙ) আটানব্বই কোটি সাত লক্ষ পাঁচ হাজার নয়।
(চ) একশ দুই কোটি পাঁচ হাজার সাতশ আট।
(ছ) নয়শ পঞ্চান্ন কোটি সাত লক্ষ নব্বই।
(জ) তিন হাজার পাঁচশ কোটি পঁচাশি লক্ষ নয়শ একুশ।
(ঝ) পঞ্চাশ বিলিয়ন তিনশ এক মিলিয়ন পাঁচশ আটত্রিশ হাজার।

২। নিচের সংখ্যাগুলো কথায় লেখ:
(ক) ৪৫৭৮৯; ৪১০০৭; ৮৯১০৭১।
(খ) ২০০০৭৮; ৭৯০৬৭৮; ৮৯০০৭৫।
(গ) ৪৪০০৭৮৫; ৬৮৭০৫০৯; ৭১০৫০৭০।
(ঘ) ৫০৮৭৭০০৩; ৯৪৩০৯৭৯৯; ৮৩৯০০৭৬৫।

৩। নিচের সংখ্যাগুলোতে যে সকল সার্থক অঙ্ক আছে তাদের স্থানীয় মান নির্ণয় কর:
(ক) ৭২
(খ) ৩৫৯
(গ) ৪২০৩
(ঘ) ৭০৮০৯
(ঙ) ১৩০০৪৫০৭৮
(চ) ২৫০০০৯৭০৯
(ছ) ৫৯০০০০৭৮৪৫
(জ) ৯০০৭৫৮৪৩২
(ঝ) ১০৫৭৮০৯২৩০০৪।

৪। নয় অঙ্কের বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যা লেখ।

৫। একই অঙ্ক মাত্র একবার ব্যবহার করে সাত অঙ্কের বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যা গঠন কর: (ক) ৪, ৫, ১, ২, ৮, ৯, ৩ (খ) ৪, ০, ৫, ৩, ৯, ৮, ৭।

৬। সাত অঙ্ক বিশিষ্ট কোন বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার প্রথমে ৭ এবং শেষে ৬ আছে?

৭। ৭৩৪৫৫ এর অঙ্কগুলোকে বিপরীতভাবে সাজালে যে সংখ্যা হয় তা কথায় প্রকাশ কর।

নিচে কয়েকটি সংখ্যার গুণনীয়ক লেখা হলো:

লক্ষ করি: ২,৫ ও ১৩ এর গুণনীয়ক কেবল ১ এবং ঐ সংখ্যাটি। এই ধরনের সংখ্যাগুলো মৌলিক সংখ্যা।

আবার, ৬, ৯ এবং ১২ এর গুণনীয়ক ১ এবং ঐ সংখ্যা ছাড়াও এক বা একাধিক সংখ্যা আছে। এই ধরনের সংখ্যাগুলো যৌগিক সংখ্যা।

৮ এবং ১৫ দুইটি স্বাভাবিক সংখ্যা।
এখানে, ৮ = ১ $\times$২$\times$২$\times$২ এবং ১৫ = ১৩$\times$৫

লক্ষ করি, ৮ এর গুণীনয়কগুলো ১, ২, ৪, ৮ এবং ১৫ এর গুণনীয়কগুলো ১, ৩, ৫, ১৫। দেখা যাচ্ছে, ৮ এবং ১৫ এর মধ্যে ১ ছাড়া অন্য কোনো সাধারণ গুণনীয়ক নেই। তাই, ৮ এবং ১৫ সংখ্যাদ্বয় পরস্পর সহমৌলিক।

আবার ১০, ২১ ও ১৪৩ এর মধ্যে ১ ছাড়া অন্য কোনো সাধারণ গুণনীয়ক নেই। অতএব, সংখ্যাগুলো পরস্পর সহমৌলিক।

দুই বা ততোধিক সংখ্যার সাধারণ গুণনীয়ক শুধু ১ হলে সংখ্যাগুলো পরস্পর সহমৌলিক।

২ দ্বারা বিভাজ্য
২ এর কয়েকটি গুণিতক লিখে পাই,

২$\times$০ = ০, ২$\times$ ১ = ২, ২$\times$২ = ৪, ২$\times$৩ = ৬, ২$\times$৪ = ৮,
২$\times$৫ = ১০, ২$\times$৬ = ১২, ২$\times$ ৭ = ১৪, ২$\times$৮ = ১৬, ২$\times$৯ = ১৮ ইত্যাদি।

গুণফলের প্রক্রিয়া লক্ষ করি। যেকোনো সংখ্যাকে ২ দ্বারা গুণ করলে গুণফলের একক স্থানীয় অঙ্কটি হবে ০, ২, ৪, ৬ বা ৮। সুতরাং কোনো সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্ক ০, ২, ৪, ৬ বা ৮ হলে, সংখ্যাটি ২ দ্বারা বিভাজ্য হবে। এরূপ সংখ্যাকে আমরা জোড় সংখ্যা বলে জানি।

৪ দ্বারা বিভাজ্য
৩৫১২ কে স্থানীয় মানে লিখলে হয়:

৩৫১২ = ৩০০০ + ৫০০ + ১০ + ২
এখানে, ১০, ৪ দ্বারা বিভাজ্য নয়। কিন্তু দশকের বামদিকের যেকোনো অঙ্কের স্থানীয় মান ৪ দ্বারা বিভাজ্য।
আবার, ৩৫১২ = ৩০০০ + ৫০০ + ১২
এখানে, ১২, ৪ দ্বারা বিভাজ্য। সুতরাং ৩৫১২ সংখ্যাটি ৪ দ্বারা বিভাজ্য। অর্থাৎ একক ও দশক স্থানীয় অঙ্ক দুইটি দ্বারা গঠিত সংখ্যাটি ৪ দ্বারা বিভাজ্য হওয়ায় সংখ্যাটি ৪ দ্বারা বিভাজ্য।

৫ দ্বারা বিভাজ্য
৫ এর কয়েকটি গুণিতক লিখি।

৫$\times$০ = ০,
৫$\times$১ = ৫,
৫$\times$২ = ১০,
৫$\times$৩ = ১৫,
৫$\times$৪ = ২০,
৫$\times$৫ = ২৫,
৫$\times$৬ = ৩০,
৫$\times$ ৭ = ৩৫,
৫$\times$৮ = ৪০,
৫$\times$৯ = ৪৫ ইত্যাদি।

গুণফলের প্রক্রিয়া লক্ষ করে দেখি যে, কোনো সংখ্যাকে ৫ দিয়ে গুণ করলে গুণফলের একক স্থানীয় অঙ্কটি হবে ০ বা ৫। সুতরাং একক স্থানে ০ বা ৫ অঙ্কযুক্ত সংখ্যা ৫ দ্বারা বিভাজ্য হবে।

৩ দ্বারা বিভাজ্য

এখানে, ৩ $\times$ ৩ $\times$ ৪ এবং ৩ $\times$ ৩ $\times$ ১১ সংখ্যাগুলো ৩ দ্বারা বিভাজ্য এবং একক, দশক ও শতক স্থানীয় অঙ্কগুলোর যোগফল = ১+৪+৭+=১২ ; যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য।

$\therefore$ ১৪৭ সংখ্যাটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য।

আবার, ১৪৮ সংখ্যাটি বিবেচনা করি।

এখানে, ৩ $\times$ ৩ $\times$ ৪ এবং ৩ $\times$ ৩ $\times$ ১১ সংখ্যাগুলো ৩ দ্বারা বিভাজ্য। কিন্তু একক, দশক ও শতক স্থানীয় অঙ্কগুলোর যোগফল = ১+৪+৮=১৩ ; যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়।

$\therefore$১৪৮ সংখ্যাটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়।

৬ দ্বারা বিভাজ্য
কোনো সংখ্যা ২ এবং ৩ দ্বারা বিভাজ্য হলে সংখ্যাটি ৬ দ্বারাও বিভাজ্য হবে।

৯ দ্বারা বিভাজ্য
৩৭৮ সংখ্যাটি বিবেচনা করি।

উদাহরণ ১। জারিফ জাওয়াদকে এক অঙ্কের ছয়টি সংখ্যা লিখতে বলায় যে ২, ০, ৩, ৮, ৭ ও ৪ লিখলো। জারিফ জাওয়াদকে ৪৭৫ $\square$ ২ লিখে বললো এমন কিছু অংক যা $\square$ চিহ্নিত স্থানে বসালে প্রতিক্ষেত্রে গঠিত সংখ্যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য হয়।

(ক) জাওয়াদের লেখা সংখ্যাগুলো থেকে মৌলিক সংখ্যাগুলো আলাদা করে সংখ্যাগুলোর মৌলিক সংখ্যা হওয়ার কারণ লিখ।
(খ) দেখাও যে জাওয়াদের লেখা অঙ্কগুলো দ্বারা গঠিত বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার বিয়োগফল ৯ দ্বারা বিভাজ্য।
(গ) $\square$চিহ্নিত স্থানে কোন কোন অঙ্ক বসবে তা নির্নয় কর?

সমাধান:

(ক)

জাওয়াদের লেখা অঙ্কগুলো হলো; ২, ০, ৩, ৮, ৭৩৪।
এদের মধ্যে মৌলিক সংখ্যা ২, ৩, ৭
কারণ, ২=১$\times$ ২, ৩=১ $\times$ ৩, ৭=১ $\times$ ৭,
অর্থাৎ, ২, ৩, ৭ এর গুননীয়ক ১ এবং ঐ সংখ্যাটি।

(খ)

জাওয়াদের লেখা অঙ্কগুলো হলো; ২, ০, ৩, ৮, ৭ ও ৪।
এখানে, $৮>৭>৪>৩>২>০$
অতএব, ২, ০, ৩, ৮, ৭ ও ৪ এর দ্বারা গঠিত বৃহত্তম সংখ্যাটি, ৮৭৪৩২০
এবং ক্ষুদ্রতম সংখ্যা= ২০৩৪৭৮
এখন, গঠিত বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার
বিয়োগফল = ৮৭৪৩২০-২০৩৪৭৮ = ৬৭০৮৪২
আবার, ৬৭০৮৪২ সংখ্যাটির অঙ্কগুলোর যোহফল
= ৬+৭+০+৮+৪+২ = ২৭; যা ৯ দ্বারা বিভাজ্য।
সুতরাং গঠিত বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার বিয়োগফল ৯ দ্বারা বিভাজ্য। (দেখানো হলো)

(গ)

৪৭৫ $\square$২ এ ব্যবহৃত অঙ্কগুলোর যোগফল = ৪+৭+৫+২ = ১৮; যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য।
অতএব $\square$ এর স্থানে ০ বসালে সংখ্যাটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য হবে।
অঙ্কগুলো যোগফলের সাথে ৩ যোগ করলে হয়, ১৮+৩=২১; যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য।
অতএব $\square$ এর স্থলে ৩ বসালে গঠিত সংখ্যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য।
একই ভাবে, ১৮+৬ = ২৪; যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য।
১৮+৯= ২৭; যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য।
সতুরাং $\square$ এর স্থলে ৬ ও ৯ এর যে কোনটি বসালেও গঠিত সংখ্যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য হবে।
অতএব $\square$ এর স্থানে ০, ৩, ৬, ৯ অঙ্কগুলোর যে কোনোটি বসালে প্রতিক্ষেত্রে গঠিত সংখ্যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য হবে।

১। ৩০ থেকে ৭০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যাগুলো লেখ।

২। সহমৌলিক জোড়া নির্ণয় কর:

(ক) ২৭, ৫৪
(খ) ৬৩, ৯১
(গ) ১৮৯, ২১০
(ঘ) ৫২, ৯৭

৩। নিচের কোন সংখ্যাগুলো নির্দেশিত সংখ্যা দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য?

(ক) ৩ দিয়ে: ৫৪৫, ৬৭৭৪, ৮৫৩৫
(খ) ৪ দিয়ে ৮৫৪২, ২১৮৪, ৫২৭৪
(গ) ৬ দিয়ে: ২১৮৪, ১০৭৪, ৭৮৩২
(ঘ) ৯ দিয়ে ৫০৭৫, ১৭৩৭, ২১৯৩

৪। নিচের $\square$ চিহ্নিত স্থানে কোন কোন অঙ্ক বসালে সংখ্যাটি ৯ দ্বারা বিভাজ্য হবে?

(ক) ৫ $\square$ ৪৭২৩
(খ) ৮১২ $\square$৭৪
(গ) $\square$৪১৫৭৮
(ঘ) ৫৭৪২ $\square$

৫। পাঁচ অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা নির্ণয় কর যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য।
৬। সাত অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা নির্ণয় কর যা ৬ দ্বারা বিভাজ্য।
৭। ৩,০, ৫, ২, ৭ অঙ্কগুলো দ্বারা গঠিত বৃহত্তম সংখ্যা ৪ এবং ৫ দ্বারা বিভাজ্য কিনা তা নির্ণয় কর।

আমরা জানি, ১২ এর গুণনীয়কগুলো ১, ২, ৩, ৪, ৬ এবং ১২ এবং ৩০ এর গুণনীয়কগুলো ১, ২, ৩, ৫, ৬, ১০, ১৫ এবং ৩০
এখানে, ১২ এবং ৩০ এর সাধারণ গুণনীয়কগুলো ১, ২, ৩ এবং ৬
সাধারণ গুণনীয়কগুলোর মধ্যে গরিষ্ঠ গুণনীয়ক ৬

$\therefore$ ১২ এবং ৩০ এর গ.সা.গু. ৬

প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর সাধারণ গুণনীয়কগুলোর মধ্যে সবচেয়ে বড় গুণনীয়ককে ঐ সংখ্যাগুলোর গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক (গ.সা.গু.) বলে।

আবার, আমরা জানি, ১২ এর মৌলিক গুণনীয়কগুলো ২, ২, ৩
এবং ৩০ এর মৌলিক গুণনীয়কগুলো ২, ৩, ৫
$\therefore$১২ এবং ৩০ এর সাধারণ মৌলিক গুণনীয়কগুলো ২, ৩
$\therefore$১২ এবং ৩০ এর গ.সা.গু. = ২ $\times$ ৩ = ৬

প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর গ.সা.গু. হচ্ছে এদের সাধারণ মৌলিক গুণনীয়কগুলোর গুণফল।

উদাহরণ ১। গুণনীয়ক এবং মৌলিক গুণনীয়কের সাহায্যে ২৮, ৪৮ এবং ৭২ এর গ.সা.গু. নির্ণয় কর।

সমাধান: গুণনীয়কের সাহায্যে গ.সা.গু. নির্ণয় :

এখানে,
২৮ এর গুণনীয়কগুলো ১, ২, ৪, ৭. ১৪, ২৮
৪৮ এর গুণনীয়কগুলো ১, ২, ৩, ৪, ৬, ৮, ১২, ১৬, ২৪, ৪৮
৭২ এর গুণনীয়কগুলো ১, ২, ৩, ৪, ৬, ৮, ৯, ১২, ১৮, ২৪, ৩৬, ৭২

২৮, ৪৮ এবং ৭২ এর সাধারণ গুণনীয়কগুলোর মধ্যে গরিষ্ঠ গুণনীয়কটি ৪।
$\therefore$২৮, ৪৮ এবং ৭২ এর গ.সা.গু. ৪

মৌলিক গুণনীয়কের সাহায্যে গ.সা.গু. নির্ণয় :
এখানে, ২৮ এর মৌলিক গুণনীয়কগুলো ২, ২, ৭
৪৮ এর মৌলিক গুণনীয়কগুলো ২, ২, ২, ২, ৩
এবং ৭২ এর মৌলিক গুণনীয়কগুলো ২, ২, ২, ৩, ৩

২৮, ৪৮ এবং ৭২ এর সাধারণ মৌলিক গুণনীয়কগুলো ২, ২

$\therefore$ ২৮, ৪৮ এবং ৭২ এর গ.সা.গু. = ২ $\times$ ২ = ৪

ভাগ প্রক্রিয়ায় গ.সা.গু. নির্ণয় :

উদাহরণ ২। ১২ ও ৩০ এর গ.সা.গু. নির্ণয়।

শেষ ভাজক ৬
$\therefore$ ১২ ও ৩০ এর গ.সা.গু. ৬।

উদাহরণ ৩। ২৮, ৪৮ এবং ৭২ এর গ.সা.গু. নির্ণয়।

এখানে, শেষ ভাজক ৪, যা ২৮ ও ৪৮ এর গ.সা.গু. এবং ৪ দ্বারা ৭২ বিভাজ্য।
$\therefore$ ২৮, ৪৮ ও ৭২ এর গ.সা.গু. 8

আমরা জানি, ৪ এর গুণিতকগুলো: ৪, ৮, ১২, ১৬,২০, ২৪, ২৮,৩২, ৩৬,৪০,৪৪, ৪৮ ইত্যাদি।
৬ এর গুণিতকগুলো: ৬, ১২, ১৮, ২৪, ৩০, ৩৬, ৪২, ৪৮, ৫৪ ইত্যাদি।
এবং ৮ এর গুণিতকগুলো: ৮, ১৬, ২৪, ৩২, ৪০, ৪৮, ৫৬, ৬৪ ইত্যাদি।

দেখা যাচ্ছে, ৪, ৬ ও ৮ এর সাধারণ গুণিতক ২৪, ৪৮ ইত্যাদি, এর মধ্যে সবচেয়ে ছোট গুণিতক ২৪।
$\therefore$ ৪, ৬ ও ৮ এর ল.সা.গু ২৪

দুই বা ততোধিক সংখ্যার ক্ষুদ্রতম সাধারণ গুণিতককে তাদের লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক (ল.সা.গু.) বলে। আবার ৪, ৬, ৮ সংখ্যাগুলোকে মৌলিক গুণনীয়কে বিশ্লেষণ করলে পাওয়া যায়:

৪=২$\times$২, ৬ = ২ $\times$ ৩, ৮=২$\times$২$\times$২

এখানে, ৪, ৬, ৮ সংখ্যাগুলোর মৌলিক গুণনীয়কে ২ আছে সর্বোচ্চ ৩ বার, ৩ আছে সর্বোচ্চ ১ বার। কাজেই ২ তিনবার, ৩ একবার নিয়ে ধারাবাহিক গুণ করলে পাওয়া যায়, ২×২×২×৩ বা ২৪, যা প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু.

ইউক্লিডীয় প্রক্রিয়ায় ল.সা.গু. নির্ণয়:

উদাহরণ ৪। ১২, ১৮, ২০, ১০৫ এর ল.সা.গু. নির্ণয়।

সমাধান:

নির্ণেয় ল.সা.গু. = ২$\times$২$\times$ 3 $\times$ 5 $\times$ ৩ $\times$ ৭ = ১২৬০

প্রদত্ত উদাহরণ থেকে নিয়মটি লক্ষ করি:

• সংখ্যাগুলোর মধ্যে (,) চিহ্ন দিয়ে তাদেরকে এক সারিতে লিখে নিচে একটি রেখা (L) টানা হয়েছে।
• প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর কমপক্ষে দুইটিকে সাধারণ মৌলিক গুণনীয়ক দ্বারা ভাগ করা হয়েছে। গুণনীয়কটি দ্বারা যে সংখ্যাগুলো নিঃশেষে বিভাজ্য তাদের ভাগফলও এর সঙ্গে নিচে লেখা আছে। যেগুলো বিভাজ্য নয় সেগুলো অপরিবর্তিত রেখে লেখা হয়েছে।
• নিচের সারির সংখ্যাগুলো নিয়ে আগের নিয়মে কাজ করা হয়েছে।
• এরূপে ভাগ করতে করতে সবার নিচের সারির সংখ্যাগুলো যখন পরস্পর সহমৌলিক হয়েছে তখন আর ভাগ করা হয়নি।
• সবার নিচের সারির সংখ্যাগুলো ও ভাজকগুলোর ধারাবাহিক গুণফলই নির্ণেয় ল.সা.গু.।

যেকোনো দুইটি সংখ্যা ১০ এবং ৩০ নিয়ে মৌলিক গুণনীয়কগুলো নির্ণয় করা হলো:

১০ = ২ $\times$ ৫, ৩০ = ২ $\times$ ৩ $\times$ ৫
১০ এবং ৩০ এর গ.সা.গু. = ২ $\times$ ৫ = ১০
এবং ল.সা.গু. = ২ $\times$ ৩ $\times$ ৫ = ৩০

আবার, ১০ এবং ৩০ সংখ্যাদ্বয়ের গুণফল = ১০ $\times$ ৩০ = (২০৫) $\times$ (২$\times$৩০৫)
= গ.সা.গু. $\times$ ল.সা.গু.
দুইটি সংখ্যার গুণফল সংখ্যা দুইটির গ.সা.গু. ও ল.সা.গু. এর গুণফলের সমান।

দুইটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যাদ্বয়ের গ.সা.গু. $\times$ সংখ্যাদ্বয়ের ল.সা.গু.

উদাহরণ ৫। মৌলিক গুণনীয়কের সাহায্যে ৩০, ৩৬, ৪০ এর ল.সা.গু. নির্ণয় কর।

সমাধান: এখানে, ৩০ = ২ $\times$ ৩$\times$৫

$\therefore$৩০ এর মৌলিক গুণনীয়কগুলো ২, ৩, ৫

৩৬ = ২$\times$ ২$\times$৩$\times$৩

$\therefore$৩৬ এর মৌলিক গুণনীয়কগুলো ২, ২, ৩, ৩

এবং ৪০ = ২$\times$২$\times$২$\times$৫

$\therefore$৪০ এর মৌলিক গুণনীয়কগুলো ২, ২, ২, ৫

$\therefore$৩০, ৩৬, ৪০ এর ল.সা.গু. ২$\times$২$\times$২$\times$৩ $\times$ ৩ $\times$ ৫ = ৩৬০

নির্ণেয় ল.সা.গু. ৩৬০

উদাহরণ ৬। ভাগ প্রক্রিয়ায় ৪২, ৪৮ ও ৫৬ এর গ.সা.গু. নির্ণয় কর।

উদাহরণ ৭। কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ৩৬৫ ও ৪৬৩ কে ভাগ করলে ভাগশেষ যথাক্রমে ৫ ও ৭ থাকে?

সমাধান: যেহেতু বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ৩৬৫ ও ৪৬৩ কে ভাগ করলে ভাগশেষ যথাক্রমে ৫ ও ৭থাকে। কাজেই নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে (৩৬৫ ৫) বা ৩৬০ এবং (৪৬৩৭) বা ৪৫৬ এর গ.সা.গু.।

$\therefore$৩৬০ ও ৪৫৬ এর গ.সা.গু. ২৪।
নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যাটি ২৪।

উদাহরণ ৮। কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ৫৭, ৯৩ এবং ১৮৩ কে ভাগ করলে কোনো ভাগশেষ থাকবে না?
সমাধান: নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যাটি হবে ৫৭, ৯৩ ও ১৮৩ এর গ.সা.গু.।

এখানে, ৫৭ = ৩ $\times$ ১৯, ৯৩ = ৩ $\times$ ৩১ এবং ১৮৩ = ৩ $\times$ ৬১
$\therefore$৫৭, ৯৩ ও ১৮৩ এর গ.সা.গু. ৩।

নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যাটি ৩।

উদাহরণ ৯। কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যার সাথে ৫ যোগ করলে যোগফল ১৬, ২৪ ও ৩২ দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?

সমাধান: নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হবে ১৬, ২৪ ও ৩২ এর ল.সা.গু. থেকে ৫ কম।

১৬, ২৪ ও ৩২ এর ল.সা.গু. = ২ $\times$ ২ $\times$ ২$\times$২$\times$৩$\times$২ = ৯৬

নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি (৯৬ – ৫) বা ৯১।

উদাহরন। ১০

(ক) ১৫৯ এর গুণনীয়ক গুলো নির্নয় করে মৌলিক গুণনীয়কগুলো আলাদা কর।
(খ) যদি ৯ টি আম, ৭ টি জাম, ১ টি লিচু পচে যায় তবে অবশিষ্ট ফলের সংখ্যার ল.সা.গু ইউক্লিডীয় পদ্ধতিতে নির্ণয় কর।
(গ) সর্বাধিক কত জন বালকের মধ্যে ফলগুলো সমান ভাবে ভাগ করে দিলে ৩টি আম, ৬ টি জাম ও ১১ টি লিচু অবশিষ্ট থাকবে?

সমাধান
(ক) ১৫৯ = ১ $\times$ ১৫৯ = ৩ $\times$ ৫৩

১৫৯ এর গুণনীয়কগুলো হলো ১, ৩, ৫৩ ও ১৫৯
এদের মধ্যে মৌলিক গুণনীয়ক ৩ এবং ৫৩।

(খ)
১ম ঝুড়িতে ভালো আমের সংখ্যা = ১৫৯-৯ = ১৫০
২য় ঝুড়িতে ভালো জামের সংখ্যা = ২২৭-৭ = ২২০
৩য় ঝুড়িতে ভালো লিচুর সংখ্যা = ৪০১-১ = ৪০০

এখন

$\therefore$ ১৫০, ২২০ ও ৪০০ এর ল.সা.গু = ২ $\times$ ২$\times$5 $\times$5 $\times$3 $\times$4৪ $\times$ ১১ = ১৩২০০।

(গ) এখানে,
১৫৯-৩ = ১৫৬
২২৭-৬ = ২২১
৪০১-১১ = ৩৯০
নির্ণেয় বালকের সংখ্যা হবে ১৫৬, ২২১ ও ৩৯০ এর গ.সা.গু।

১। মৌলিক গুণনীয়কের সাহায্যে গ.সা.গু. নির্ণয় কর:
(ক) ১৪৪, ২৪০, ৬১২
(খ) ৫২৫, ৪৯৫, ৫৭০
(গ) ২৬৬৬, ৯৬৯৯

২। ভাগ প্রক্রিয়ায় গ.সা.গু. নির্ণয় কর:
(ক) ১০৫, ১৬৫
(খ) ৩৮৫, ২৮৬, ৪১৮

৩। মৌলিক গুণনীয়কের সাহায্যে ল.সা.গু. নির্ণয় কর:
(ক) ১৫, ২৫, ৩০
(খ) ২২, ৮৮, ১৩২, ১৯৮
(গ) ২৪, ৩৬, ৫৪, ৭২, ৯৬

৪। ইউক্লিডীয় পদ্ধতিতে ল.সা.গু. নির্ণয় কর:
(ক) ৯৬, ১২০
(খ) ৩৫, ৪৯, ৯১
(গ) ৩৩, ৫৫, ৬০, ৮০, ৯০

৫। কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ১০০ ও ১৮৪ কে ভাগ করলে প্রত্যেকবার ভাগশেষ ৪ থাকবে?
৬। কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ২৭, ৪০ ও ৬৫ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৩, ৪,৫ ভাগশেষ থাকবে?
৭। কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে ৮, ১২, ১৮ এবং ২৪ দ্বারা ভাগ করলে প্রত্যেকবার ভাগশেষ ৫ হবে?
৮। কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে ২০, ২৫, ৩০, ৩৬ এবং ৪৮ দিয়ে ভাগ করলে যথাক্রমে ১৫, ২০, ২৫, ৩১ ও ৪৩ ভাগশেষ থাকবে?
৯। একটি লোহার পাত ও একটি তামার পাতের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৬৭২ সে.মি. ও ৯৬০ সে.মি.। পাত দুইটি থেকে কেটে নেওয়া একই মাপের সবচেয়ে বড় টুকরার দৈর্ঘ্য কত হবে? প্রত্যেক পাতের টুকরার সংখ্যা নির্ণয় কর।
১০। চার অঙ্কের কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ১২, ১৫, ২০ ও ৩৫ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য?

১১। পাঁচ অঙ্কের কোন বৃহত্তম সংখ্যাকে ১৬, ২৪, ৩০ ও ৩৬ দিয়ে ভাগ করলে প্রত্যেকবার ভাগশেষ ১০ হবে?
১২। কোনো বাসস্ট্যান্ড থেকে ৪টি বাস একটি নির্দিষ্ট সময় পর যথাক্রমে ১০ কি.মি., ২০ কি.মি., ২৪ কি.মি. ও ৩২ কি.মি. পথ অতিক্রম করে। কমপক্ষে কত দূর পথ অতিক্রম করার পর বাস চারটি একত্রে মিলিত হবে?
১৩। দুইটি সংখ্যার গুণফল ৩৩৮০ এবং গ.সা.গু. ১৩। সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু. নির্ণয় কর।

পূর্বের শ্রেণিতে আমরা ভগ্নাংশ সম্বন্ধে জেনেছি। এখানে আমরা সাধারণ ভগ্নাংশ নিয়ে আলোচনা করব। সাধারণ ভগ্নাংশ তিন প্রকার, যথা প্রকৃত ভগ্নাংশ, অপ্রকৃত ভগ্নাংশ ও মিশ্র ভগ্নাংশ ও মিশ্র ভগ্নাংশ

প্রকৃত ভগ্নাংশ: $\frac{৩ }{৫}$ একটি সাধারণ ভগ্নাংশ। এই ভগ্নাংশে লব ৩ ও হর ৫। এখানে লব, হর থেকে ছোট। এটি একটি প্রকৃত ভগ্নাংশ।

অপ্রকৃত ভগ্নাংশ: $\frac{৮ }{৫}$ সাধারণ ভগ্নাংশে লব, হর থেকে বড়। এটি একটি অপ্রকৃত ভগ্নাংশ।

মিশ্র ভগ্নাংশ: $১\frac{২}{৩}$ সংখ্যাটিতে একটি পূর্ণ অংশ এবং অপর অংশটি প্রকৃত ভগ্নাংশে আছে।$১\frac{২}{৩}$ একটি মিশ্র ভগ্নাংশ।

সমতুল ভগ্নাংশ: $\frac{৫}{৭}$ ও $\frac{১৫}{২১}$দুইটি ভগ্নাংশ।

এখানে, প্রথম ভগ্নাংশের লব $\times$ দ্বিতীয় ভগ্নাংশের হর = ৫ $\times$ ২১ = ১০৫

প্রথম ভগ্নাংশের হর $\times$ দ্বিতীয় ভগ্নাংশের লব = ৭ $\times$ ১৫ = ১০৫

$\therefore$ ভগ্নাংশ দুইটি সমতুল।

কোনো ভগ্নাংশের লব ও হরকে শূন্য ছাড়া একই সংখ্যা দিয়ে গুণ বা ভাগ করলে প্রদত্ত ভগ্নাংশের সমতুল ভগ্নাংশ পাওয়া যায়।

উদাহরণ ১ ।

$২\frac{২}{৫}$ কে সাধারণ ভগ্নাংশে প্রকাশ কর।

$\frac{৫}{৭}ও \frac{৩}{৪}$ দুইটি সাধারণ ভগ্নাংশ।

এখানে, প্রথম ভগ্নাংশের লব ও দ্বিতীয় ভগ্নাংশের হর এর গুণফল = $৪ \times ৫ = ২০$

দ্বিতীয় ভগ্নাংশের লব ও প্রথম ভগ্নাংশের হর এর গুণফল =$৩\times ৭ = ২১$

যেহেতু $২০ < ২১$ , কাজেই $\frac{৫}{৭}< \frac{৩}{৪}$ বা $\frac{৩}{৪}> \frac{৫}{৭}$

আবার, ভগ্নাংশ দুইটির হর ৭ ও ৪ এর ল.সা.গু. = $৭\times ৪ =২৮$

প্রথম ভগ্নাংশ $\frac{৫}{৭}=\frac{৫\times ৪}{৭\times ৪}=\frac{২০}{২৮}$
{ যেহুত $২৮÷৭ = ৪$}

এবং দ্বিতীয় ভগ্নাংশ $\frac{৩}{৪}=\frac{৩\times ৭}{৪\times ৭}=\frac{২১}{২৮}$ [যেহেতু $২৮÷৭ = ৪$ ]

$\frac{২০}{২৮}ও \frac{২১}{২৮}$ ভগ্নাংশ দুইটির হর একই অর্থাৎ সমহর বিশিষ্ট। কিন্তু প্রথম ভগ্নাংশের লব ২০ দ্বিতীয় ভগ্নাংশের লব ২১ অপেক্ষা ছোট।

$\therefore \frac{২০}{২৮}<\frac{২১}{২৮}$ বা $\frac{৫}{৭}<\frac{৩}{৪}$ বা $\frac{৩}{৪}>\frac{৫}{৭}$

দুইটি ভগ্নাংশের হর একই হলে যে ভগ্নাংশের লব বড় সেই ভগ্নাংশটি বড়।

পুনরায়, $\frac{৫}{৭}ও \frac{৩}{৪}$ ভগ্নাংশ দুইটির লব ৫ ও ৩ এর ল.সা.গু. = $৫ \times ৩ = ১৫$

প্রথম ভগ্নাংশ $\frac{৫}{৭}=\frac{৫\times ৩}{৭\times ৩}=\frac{১৫}{২১}$ [ যেহেতু $১৫÷৫= ৩$]

দ্বিতীয় ভগ্নাংশ $\frac{৩}{৪}=\frac{৩\times ৫}{৪\times ৫}=\frac{১৫}{২০}$ [ যেহেতু $১৫÷৩=৫$]

$\frac{১৫}{২১}ও \frac{১৫ }{২০}$ ভগ্নাংশ দুইটির লব একই অর্থাৎ সমলব বিশিষ্ট।

এখানে $\frac{১৫}{২১}<\frac{১৫}{২০}$ কেননা ১৫ $\times$ ২০ < ১৫ $\times$ ২১

দুইটি ভগ্নাংশের লব একই হলে যে ভগ্নাংশের হর বড় সেই ভগ্নাংশটি ছোট।

উদাহরণ ২। $\frac{১}{৮},\frac{৩}{১৫},\frac{৭}{২৪}$ ভগ্নাংশগুলোকে মানের ঊর্ধ্বক্রম অনুসারে সাজাও।

প্রথম ভগ্নাংশ $= \frac{১}{৮}= \frac{১\times ৬}{৮\times ৬}=\frac{৬}{৪৮}$ [ যেহেতু $৪৮ ÷ ৮ = ৬$ ]

দ্বিতীয় ভগ্নাংশ $=\frac{৩}{১৬}= \frac{৩\times ৩}{১৬\times ৩}=\frac{৯}{৪৮}$ [ যেহেতু $৪৮÷১৬= ৩$ ]

এবং তৃতীয় ভগ্নাংশ = $\frac{৭}{২৪}=\frac{৭\times ২}{২৪\times ২}=\frac{১৪}{৪৮}$ [ যেহেতু$৪৮÷২৪ =২$ 1

সমহরবিশিষ্ট ভগ্নাংশ $\frac{৬}{৪৮},\frac{৯}{৪৮},\frac{১২}{৪৮}$ এর লবগুলোর মধ্যে তুলনা করে পাই,

$৬>৯>১৪$ $\frac{৬}{৪৮}\frac{৯}{৪৮}\frac{১৪}{৪৮}$ অর্থাৎ $\frac{১}{৮}<\frac{৩}{১৬}<\frac{৭}{২৪}$

মানের ঊর্ধ্বক্রম অনুসারে সাজিয়ে পাই, $\frac{১}{৮}<\frac{৩}{১৬}<\frac{৭}{২৪}$

$\frac{৭}{১৩},\frac{২}{১৩}$ ভগ্নাংশ দুইটি যোগ করে পাই,
$\frac{৭}{১৩}+\frac{২}{১৩}=\frac{৭+৩}{১৩}=\frac{৯}{১৩}$

সমহরবিশিষ্ট কয়েকটি ভগ্নাংশের যোগফল একটি ভগ্নাংশ যার হর প্রদত্ত ভগ্নাংশের হর এবং যার লব প্রদত্ত ভগ্নাংশের লবগুলোর যোগফল।

আবার, $\frac{৭}{১৩}$ থেকে $\frac{২}{১৩}$ বিয়োগ করে পাই,

$\frac{৭}{১৩}-\frac{২}{১৩}=\frac{৭-২}{১৩}=\frac{৫}{১৩}$

সমহরবিশিষ্ট ভগ্নাংশের বিয়োগফল একটি ভগ্নাংশ যার হর প্রদত্ত ভগ্নাংশের হর এবং যার লব প্রদত্ত ভগ্নাংশের লবগুলোর বিয়োগফল।

উদাহরণ ৩। $\frac{১}{৮}+\frac{৩}{১৬}+\frac{৭}{২৪}$ = কত?

সমাধান: ভগ্নাংশগুলোর হর ৮, ১৬ ও ২৪ এর ল.সা.গু. ৪৮

এখন, $\frac{১}{৮}=\frac{১\times ৬}{৮\times ৬}=\frac{৬}{৪৮}$

$\frac{৩}{১৬}=\frac{৩\times ৩}{১৬\times ৩}=\frac{৯}{৪৮}$

এবং $\frac{৭}{২৪}=\frac{৭\times ২}{২৪\times ২}=\frac{১৪}{৪৮}$

$\frac{১}{৮}+\frac{৩}{১৬}+\frac{৭}{২৪}=\frac{৬}{৪৮}+\frac{৯}{৪৮}+\frac{১৪}{৪৮}=\frac{২৯}{৪৮}$

নির্ণেয় যোগফল $\frac{২৯}{৪৮}$

সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিতে ভগ্নাংশের যোগফল :

ভগ্নাংশগুলোর হর ৮, ১৬, ২৪ এর ল.সা.গু. ৪৮

$\frac{১}{৮}+\frac{৩}{১৬}+\frac{৭}{২৪}=\frac{৬}{৪৮}+\frac{৯}{৪৮}+\frac{১৪}{৪৮}=\frac{২৯}{৪৮}$

নির্ণেয় যোগফল $\frac{২৯}{৪৮}$

উদাহরণ 8। $২\frac{৩}{১৩}+১\frac{৫}{২৬}=$ কতো ?

সমাধান: $২\frac{৩}{১৩}+১\frac{৫}{২৬}= ২+\frac{৩}{১৩}+১+\frac{৫}{২৬}= (২+১)+\left(\frac{৩}{১৩}+\frac{৫}{২৬}\right)$

$= ৩+ \frac{৩\times ২+৫\times ১ }{২৬ }=৩+ \frac{৬+৫ }{২৬ }=৩+ \frac{১১ }{২৬ }=৩ \frac{১১ }{২৬}$

নির্ণেয় যোগফল $৩ \frac{১১}{২৬}$

বিকল্প পদ্ধতিতে ভগ্নাংশের যোগফল: $২\frac{৩}{১৩}+১\frac{৫}{২৬}=\frac{২\times ১৩+৩}{১৩}+\frac{১\times ২৬+৫}{২৬}$[ অপ্রকৃত ভগ্নাংশে রূপান্তর করে।

= $\frac{২৯}{১৩}+\frac{৩১}{২৬}=\frac{২৯\times ২+৩১\times ১}{২৬}=\frac{৫৮+৩১}{২৬}$

$= \frac{৮৯}{২৬}=৩\frac{১১}{২৬}$

নির্ণেয় যোগফল $৩\frac{১১}{২৬}$

উদাহরণ ৫। সরল কর: $২+১\frac{২}{৩}-\frac{৩}{৪}$

সমাধান : $২+১\frac{২}{৩}-\frac{৩}{৪}$= $২+\frac{৫}{৩}-\frac{৩}{৪}$

$=\frac{২৪-২০-৯}{১২}=\frac{৪৪-৯}{১২}=\frac{৩৫}{১২}=২\frac{১১}{১২}$

নির্ণেয় মান: $২\frac{১১}{১২}$

উদাহরণ ৬। যোগ কর: ২০ মিটার $১\frac{৩}{৫}$ সে. মিটার ৭ মিটার $২\frac{৩}{১০}$ সে. মিটার

সমাধান : ২০ মিটার $১\frac{৩}{৫}$ সে. মি. + ৭ মিটার $২\frac{৩}{১০}$সে. মি.

= ২০ মিটার + ৭ মিটার +সে. মি. +$১\frac{৩}{৫}$সে. মি. + $২\frac{৩}{১০}$সে. মি.

= (২০+৭) মি. + $\left(\frac{৮}{৫}+\frac{২৩}{১০}\right)$ সে. মি.

= ২৭ মি. + $\frac{১৬+২৩ }{১০}$ সে. মি. = ২৭ মি. + $\frac{৩৯ }{১০}$ সে. মি.

= ২৭ মি. $৩ \frac{৯}{১০}$ সে. মি.

নির্ণেয় যোগফল ২৭ মি. $৩ \frac{৯}{১০}$ সে. মি.

উদাহরণ ৭। কোনো ব্যক্তি $২\frac{১}{৪}$ কিলোমিটার পথ হেঁটে $৩\frac{৫}{৮}$ কিলোমিটার পথ রিক্সায় এবং $৮\frac{৩}{২০}$ কিলোমিটার পথ বাসে গেলেন। তিনি মোট কত পথ অতিক্রম করলেন?

সমাধান: ঐ ব্যক্তি মোট পথ অতিক্রম করলেন

$২\frac{১}{৪}$ কিলোমিটার + $৩\frac{৫}{৮}$ কিলোমিটার + $৮\frac{৩}{২০}$ কিলোমিটার

= $\left(\frac{৯}{৪}+\frac{২৯}{৮}+\frac{১৬৩}{২০}\right)$ কিলোমিটার = $\frac{৯০+১৪৫+৩২৬}{৪০}$ কিলোমিটার

$= \frac{৫৬১}{৪০}$ কিলোমিটার $=১৪\frac{১}{৪০}$ কিলোমিটার।

নির্ণেয় অতিক্রান্ত পথ $=১৪\frac{১}{৪০}$ কিলোমিটার।

১। নিচের ভগ্নাংশ যুগল সমতুল কিনা নির্ধারণ কর:

(ক) $\left(\frac{৫}{৮ },\frac{১৫}{২৪}\right)$

(খ) $\left(\frac{৭}{১১},\frac{১৪}{৩৩}\right)$

(গ) $\left(\frac{৩৮}{৫০},\frac{১১৪}{১৫০}\right)$

২। নিচের ভগ্নাংশগুলোকে সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশে প্রকাশ কর:

(ক) $\frac{২}{৫},\frac{৭}{১০},\frac{৯}{৪০}$

(খ) $\frac{১৭}{২৫},\frac{২৩}{৪০},\frac{৬৭}{১২০}$

৩। নিচের ভগ্নাংশগুলোকে মানের ঊর্ধ্বক্রম অনুসারে সাজাও:

(ক) $\frac{৬}{৭},\frac{৭}{৯},\frac{১৬}{২১},\frac{৫০}{৬৩}$

(খ) $\frac{৬৫}{৭২},\frac{৩১}{৩৬},\frac{৫৩}{৬০},\frac{১৭}{২৪}$

৪। নিচের ভগ্নাংশগুলোকে মানের অধঃক্রম অনুসারে সাজাও:

(ক) $\frac{৩}{৪},\frac{৬}{৭},\frac{৭}{৮},\frac{৫}{১২}$

(খ) $\frac{১৭}{২৫},\frac{২৩}{৪০},\frac{৫১}{৬৫},\frac{৬৭}{১৩০}$

৫। যোগ কর:

(ক) $\frac{৮}{৫}+\frac{৩}{১৬}$

(খ) $৬+১\frac{৬}{৭}$

(গ) $৮\frac{৫}{১৩}+১২\frac{৭}{২৬}$

(ঘ) ৭০ মিটার $৯\frac{৭}{১০}$সেন্টিমিটার +৮০ মিটার $১৭\frac{৩}{৫০}$সেন্টিমিটার+ ৪০ মিটার $২৭\frac{৯}{২৫}$ সেন্টিমিটার

৬। বিয়োগ কর:

(ক) $\frac{৩}{৮}-\frac{১}{৭}$

(খ) $৮\frac{৪}{১৫}-৭\frac{১৩}{৪৫}$

(গ) $২০-৯\frac{২০}{২১}$

(ঘ) ২৫ কেজি $১০\frac{১}{৫}$ গ্রাম - ১৭ কেজি $৭\frac{৭}{২৫}$ গ্রাম

৭। সরল কর ঃ

(ক) $৭-\frac{৩}{৮}+৮-\frac{৪}{৭}$

(খ) $৯-৩\frac{১৫}{১৬}-২\frac{৭}{৮}+\frac{৯}{৩২}$

(গ) $২\frac{১}{২}-৪\frac{৩}{৫}-১১+১৭\frac{৭}{১৫}$

৮। আজমাইন সাহেব তাঁর জমি থেকে বছরে $২০\frac{১}{১০}$ কুইন্টাল আমন, $৩০\frac{১}{২০}$ কুইন্টাল ইরি এবং $১০\frac{১}{৫০}$ কুইন্টাল আউশ ধান পেলেন। তিনি তাঁর জমি থেকে এক বছরে কত কুইন্টাল ধান পেয়েছেন?

৯। ২৫ মিটার লম্বা একটি বাঁশের $৫\frac{৪}{২৫}$ মিটার কালো $৭\frac{১}{৪}$ মিটার লাল এবং $৪\frac{৩}{১০}$ মিটার হলুদ রং করা হলো। বাঁশটির কত অংশ রং করা বাকি রইল?

১০। আমিনা তার মা ও ভাইয়ের নিকট থেকে যথাক্রমে $১০৫\frac{৭}{১০}$ গ্রাম ও $৯৮\frac{৩}{৫}$ গ্রাম স্বর্ণ পেল। তার বাবার নিকট থেকে কত পেলে একত্রে ৪০০ গ্রাম স্বর্ণ হবে?

১১। জাবিদ অতিক্রান্ত মোট পথের $\frac{৩}{১০}$ অংশ রিক্সায়, $\frac{২}{৫}$ অংশ সাইকেলে অংশ হেঁটে এবং অবশিষ্ট ২ কিলোমিটার পথ ঘোড়ার গাড়িতে গেল। রিক্সায় এবং সাইকেলে প্রতি কিলোমিটার পথ যেতে গড়ে ৫ মিনিট সময় লাগে।

(ক) $\frac{৩}{১০},\frac{২}{৫},ও \frac{১}{৫}$ কে মানের ঊর্ধ্বক্রমে সাজাও।

(খ) অতিক্রান্ত মোট পথের দূরত্ব নির্নয় কর।

(গ) জাবিদ রিক্সায় এবং সাইকেলে মোট কত সময় ব্যয় করে?

ভগ্নাংশকে পূর্ণ সংখ্যা দিয়ে গুণ:

৭ কে ৩ দিয়ে গুণ অর্থ ৭ ৭ কে ৩ বার যোগ করা। তেমনি $\frac{৫}{১৩}\times ৩$ এর অর্থ $\frac{৫ }{১৩ }$ কে ৩ বার নিয়ে যোগ করা।

অর্থাৎ $\frac{৫}{১৩}\times ৩$ = $\frac{৫}{১৩}+\frac{৫}{১৩}+\frac{৫}{১৩}=\frac{৫+৫+৫}{১৩ }=\frac{১৫}{১৩}$

লক্ষ করি : $\frac{৫}{১৩}\times ৩$ = $\frac{৫\times ৩}{১৩}$ = $\frac{১৫}{১৩}$

ভগ্নাংশ $\times$ পূর্ণ সংখ্যা = ভগ্নাংশের লব পূর্ণ সংখ্যা / ভগ্নাংশের হর

ভগ্নাংশকে ভগ্নাংশ দিয়ে গুণ :

চিত্র থেকে লক্ষ করি :

• বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = ১মি ১মি = ১ বর্গমিটার।
• বর্গক্ষেত্রের দৈর্ঘ্যকে ৭ ভাগে এবং প্রস্থকে ৪ ভাগে বিভক্ত করা হয়েছে। ফলে বর্গক্ষেত্রটি ২৮টি আয়তক্ষেত্রে বিভক্ত হয়েছে এবং প্রত্যেকটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $\frac{১}{২৮}$ বর্গমিটার।
• গাঢ় অংশের দৈর্ঘ্য $\frac{৫}{৭}$ মিটার এবং প্রস্থ $\frac{৩}{৪}$ মিটার, যার ক্ষেত্রফল $\left(\frac{৫}{৭}\times \frac{৩}{৪}\right)$ বর্গমিটার।
• আবার গাঢ় অংশে ১৫টি আয়তক্ষেত্র থাকায় গাঢ় অংশের ক্ষেত্রফল $\left(\frac{১}{২৮}\times ১৫\right)$ বর্গমিটার

= $\frac{১৫ }{২৮}$ বর্গমিটার।

$\therefore$ $\frac{৫}{৭}\times \frac{৩}{৪}=\frac{১৫}{২৮}$ অর্থাৎ $\frac{৫\times ৩}{৭\times ৪}=\frac{১৫}{২৮}$

$\therefore$ দুইটি ভগ্নাংশের গুণফল = ভগ্নাংশদ্বয়ের লবের গুণফল / ভগ্নাংশদ্বয়ের হরের গুণফল

উদাহরণ ১। $২\frac{৩}{৭}\times ৩\frac{২}{৫}$ = কতো ?

সমাধান : $২\frac{৩}{৭}\times ৩\frac{২}{৫}$ = $\frac{১৭}{৭}\times \frac{১৭}{৫}$ [অপ্রকৃত ভগ্নাংশে রূপান্তর করে]

$=\frac{১৭\times ১৭}{৭\times ৫}=\frac{২৮৯}{৩৫}=৮\frac{৯}{৩৫}$

'এর' এর অর্থ :

$\left(১২\times \frac{৩}{৫}\right)$ এর অর্থ ১২ এর ৫ ভাগের ৩ অংশ বা (১২ এর $\frac{৩}{৫}$ )

অর্থাৎ ১২ এর $\frac{৩}{৫}$ = ১২ $\times$ $\frac{৩}{৫}$

উদাহরণ ২। $\frac{৯}{৩৫}$ এর $২\frac{১১}{১২}$ = কত?

সমাধান: $\frac{৯}{৩৫}$ এর $২\frac{১১}{১২}$ = $\frac{৯}{৩৫}$$\times$$\frac{৩৫}{১২}$= $\frac{৩}{৪}$

উপরের চিত্রে, ক্ষেত্রটিকে ২০টি সমান ক্ষেত্রে ভাগ করা হয়েছে যার মধ্যে ১২টি ক্ষেত্র গাঢ়।

$\therefore$ গাঢ় ক্ষেত্রের অংশ = $\frac{১২}{২০}$ = $\frac{৩}{৫}$ অংশ।

প্রত্যেক সারিতে গাঢ় ক্ষেত্রের অংশ = ক্ষেত্রটির $\frac{৩}{২০}$ অংশ

প্রত্যেক সারিতে গাঢ় ক্ষেত্রের অংশ মোট গাঢ় অংশের $\frac{১}{৪}$ অংশ

$\therefore$ প্রত্যেক সারিতে গাঢ় অংশ = মোট গাঢ় অংশের $\frac{১}{৪}$ অংশ

= ক্ষেত্রটির $\frac{৩}{৫}$ অংশের $\frac{১}{৪}$ অংশ

= ক্ষেত্রটির $\left(\frac{৩}{৫}এর \frac{১}{৪}\right)$ অংশ

লক্ষ করি: $\frac{৩}{৫}$ কে ৪ ভাগ করা এবং $\frac{৩}{৫}$ কে $\frac{১}{৪}$ দ্বারা গুণ করা একই অর্থ।

$\frac{৩}{৫}÷৩$ $=\frac{৩}{৫}\times \frac{১}{৪}$ ; এখানে ৪ এর বিপরীত ভগ্নাংশ $\frac{১}{৪}$

কোনো ভগ্নাংশকে অপর একটি ভগ্নাংশ দিয়ে ভাগ করতে হলে প্রথম ভগ্নাংশকে দ্বিতীয়টির বিপরীত ভগ্নাংশ দিয়ে গুণ করতে হয়।

উদাহরণ ৩। $৩\frac{৫}{১২}÷২\frac{৩}{৮}=$কতো ?

সমাধান: $৩\frac{৫}{১২}÷২\frac{৩}{৮}=\frac{৪১}{১২}÷\frac{১৯}{৮}=\frac{৪১}{১২}\times \frac{৮}{১৯}=\frac{৮২}{৫৭}=১\frac{২৫}{৫৭}$

উদাহরণ ৪ : কোনো ব্যক্তি তাঁর সম্পত্তির $\frac{১}{৮}$ অংশ স্ত্রীকে, $\frac{১}{২}$ অংশ পুত্রকে ও $\frac{১}{৪}$ অংশ মেয়েকে দান করলেন। তাঁর অবশিষ্ট সম্পত্তির মূল্য ৬০,০০০ টাকা। মোট সম্পত্তির মূল্য নির্ণয় কর।

সমাধান: ঐ ব্যক্তি স্ত্রী, পুত্র ও মেয়েকে মোট দান করেন সম্পত্তির $\left(\frac{১}{৮}+\frac{১}{২}+\frac{১}{৪}\right)$ অংশ

$=\frac{১+৪+২}{৮}$ অংশ $=\frac{৭}{৮}$ অংশ

$\therefore$ সম্পূর্ণ সম্পত্তি ১ ধরে অবশিষ্ট থাকে $\left(১-\frac{৭}{৮}\right)$ অংশ বা $\frac{৮-৭}{৮}$ অংশ বা $\frac{১}{৮}$ অংশ প্রশ্নানুসারে, সম্পত্তির $\frac{১}{৮}$ অংশের মূল্য ৬০,০০০ টাকা

$\therefore$ সম্পূর্ণ অংশের মূল্য $৬০,০০০ ÷\frac{১}{৮}$ টাকা বা $৬০০০০ \times \frac{৮}{১}$ টাকা বা ৪,৮০,০০০ টাকা।